ابحاث جامعيةابحاث علميةابحاث مدرسية

بحث عن المصفوفات , معلومات مهمه عن علم المصفوفات وأنواعه المختلفة

المصفوفات

المصفوفات هو علم قائم بذاته وله نتائجه التي تميزه عن بقية العلوم، فالمصفوفة لها دول مهم في حل المعادلات الخطية والغير الخطية، ولذلك قمت بعمل بحث عن المصفوفات التي سأوضح فيه معلومات مهمه عن علم المصفوفات وأنواعه المختلفة.

تعريف المصفوفات

عرفت المصفوفات بعدة تعريفات وهي:

  • هو عبارة عن نثق ثنائي الأبعاد مؤلف من أعداد حقيقية أو عقدية، أو هو التعبير عن قيمة أو معلومات بواسطة مجموعة أعمدة وصفوف.
  • هي جدول من العناصر هذه العناصر تحتويها المصفوفة قد تكون أعداد حقيقية أو أعداد مركبة وقد تكون دوال.
  • هي مجموعة مستطيلة من الأعداد أو الرموز منتظمة بشكل أعمدة وصفوف مكتوبة بين قوسين، ويمكن المصفوفة بين قوسين مربعين أو قوسين هلاليين، ويرمز للمصفوفة بأحد أحرف الإنجليزية الكبيرة.
  • هي دالة رياضية خطية تحول مجموعة بداية أي انطلاق (مجال) إلى مجموعة وصول أو نهاية (مدى)، ومجموعة الانطلاق والوصول يمكن أن تكون متكونة من أعداد صحيحة أو عقدية أو أشعة من الأعداد، كما يمكن أن تكون هاتان المجموعتان متكونة بدورها من دالات رياضية، ويمكن أن تكون أعداد صحيحة أو مركبة يمكن أن تكون دالات رياضية.

تاريخ المصفوفات

ظهرت المصفوفات عام 1800 م باسم صفائف، وانتشرت بعد ذلك إلى الصين، ودول أوروبا، ودول العالم أجمع عبر العلماء، وقد نشر بحوث عديدة عن المصفوفات وهما:

  • عام 1683م نشر بحث عن المصفوفات من قبل الرياضي الياباني سيكى تاكازاو.
  • عام 1693 نشر بحوث متعلقة بالمصفوفات العالم الألماني جوتفريد لاينتز.
  • عام 1848 تم ابتكار مصطلح المصفوفة عن طريق جي جي سلفستر كاسم لمجموعة مرتبة من الأرقام.
  • عام 1855 قدم آرثر كايلي المصفوفة على إنها تمثيل لعناصر خطية.

نظرية المصفوفات

هي فرع الرياضيات الذي يركز على دراسة المصفوفات فعليا، يعتبر أحد فروع الجبر الخطي، ثم نمى ليغطي موضوعات ذات علاقة بنظرية المخططات والجبر والتوافقيات والإحصاء.

حيز المصفوفة هو عدد الصفوف والأعمدة المكونة لهذه المصفوفة التي تحتوي على (M) من الصفوف وN)) من الأعمدة والحيز.

(M*N) وتكتب ( M*N) ) A

يشار عادة إلى عناصر المصفوفة بحرف صغير أسفله رقمين الأول بشير إلي رقم السطر والثاني إلي رقم العمود.

يعتبر حساب المصفوفة من الأدوات الرياضية الهامة لدراسة مواضيع مختلفة مثل الكهرباء والكيمياء والإحصاء والبرمجيات إضافة إلى الرياضة البحتة.

فوائد المصفوفات

  • تقليل الوقت والجهد على المبرمج.
  • السرعة في الأداء.
  • تقليل حجم الكود.
  • إمكانية الوصول للقيم بطريقة سريعة وسهلة جداً.

أنواع المصفوفات

  1. المصفوفة المربعة: أن المصفوفة المربعة تكون عدد صفوفها مساويا لعدد أعمدتها.
  2. المصفوفة الصفرية: هي مصفوفة تكون جميع مدخلاتها تساوي أصفار.
  3. المصفوفة الأحادية: هي مصفوفة تتألف من مدخلة واحدة فقط، أي تتألف من عنصر واحد فقط.
  4. مدور المصفوفة: لتكن A مصفوفة من الدرجة n×m فانه عند تحويل صفوفها إلى أعمدة ينتج مصفوفة من الدرجة m×n وتسمى مدور أو منقول المصفوفة ويرمز لها بالرمز AT
  5. المصفوفة المتماثلة: هي المصفوفة الحقيقية المربعة A متماثلة إذا وفقط، إذا كانت مساوية لمدورها وبالرموز AT=A
  6. المصفوفة المتماثلة تخالفيا: هي المصفوفة الحقيقية المربعة A متماثلة تخالفيا إذا وفقط، إذا كان AT=A
  7. المصفوفة المثلثية: المصفوفة المربعة مصفوفة مثلثية إذا وفقط إذا كانت جميع مدخلاتها فوق القطر الرئيسي أو تحت القطر الرئيسي تساوي صفرا.
  8. المصفوفة القطرية: أن المصفوف المربعة إنها مصفوفة قطرية إذا وفقط إذا كانت جميع مدخلاتها فوق وتحت القطر الرئيسي تساوي صفرا.
  9. المصفوفة المستطيلة: وهي لا يتساوى فيها عدد الصفوف مع عدد الأعمدة.
  10. المصفوفة السطرية: وهي تتكون من صف واحد فقط، وسميت بهذا الاسم لأن جميع عناصرها تقع على سطر واحد.
  11. المصفوفة العمودية: وهي تتكون من عمود واحد فقط، وسميت بهذا الاسم لأن جميع عناصرها تقع في عمود واحد.
  12. المصفوفة الواحدية: وهي مصفوفة قطرية جميع عناصر القطر الرئيسي فيها هو العدد واحد.

الجوانب الحسابية للمصفوفات

تقوم حسابات المصفوفات في كثير من الأحيان على تقنيات مختلفة؛ حيث إنّ لها القدرة على حل العديد من المشكلات عبر طريقتي (الخوارزميات بشكل مباشر أو النهج المتكرر).

التطبيقات على المصفوفات

يوجد العديد من التطبيقات لهذه المصفوفات، سواء كان في الرياضيات أو غيرها من العلوم؛ حيث يمكن الاستفادة منها من خلال تمثيل مضغوط لمجموعة من الأرقام في المصفوفة، ويكون ذلك من خلال الاعتماد على مجموعة من البدائل لأيّة عملية تحتاج إلى حسابات معقدة.

العمليات على المصفوفات

المقصود بالمصفوفة (Matrix) بأنها مجموعة من البيانات ليس بالشرط أن تكون قيمتها مهمة بل إن الأهمية تكمن في موقعها ضمن المصفوفة، وان أي مصفوفة تحدد بعدد اسطرها (Rows) وأعمدتها (Columns) فيمكن أن يقال بأن المصفوفة ذات حجم n × m حيث إن عدد السطور يساوي n وعدد الأعمدة m ويرمز لعناصر لمصفوفة بالرمز aij حيث، يشار i إلى السطر و j إلى العامود، ویرمز للمصفوفة عادة بالأحرف اللاتينية الكبيرة وتستخدم الحروف اللاتينية الصغيرة لتمثيل عناصر المصفوفة وكما هو مبين في المثال أدناه:

بحث عن نظم المعلومات

ويمكن إيجاد حلول سريعة وفعالة لمجموعة من المعادلات الخطية من خلال استخدام المصفوفة، ولأجل عرض ما تم إنجازه في هذا البحث يجب التعرف مسبقاً على أهم العمليات التي تم برمجتها وتقديمها بشكل برنامج.

جمع المصفوفات

في كثیر من الأحیان نحتاج إلى عملیة جمع مصفوفة مع مصفوفة أخرى، فان هنالك شروطاً یجب توفرها لإنجاز العملیة هي أن تكون أبعاد المصفوفة الأولى مساویة لأبعاد المصفوفة الثانية.

طرح المصفوفات

شرط طرح المصفوفات هو نفس شرط الجمع، حيث يشترط أن تكون المصفوفات التي يتم جمعها أو طرحها لها نفس القوة n×m:

حيث أن:

m هي عدد الصفوف

n هي عدد الأعمدة

ضرب المصفوفات

لضرب مصفوفتين فان شرطاً يجب توفره وهو عدد الأعمدة الموجودة في المصفوفة الأولى يجب أن يكون مساوياً لعدد الصفوف الموجودة من المصفوفة الثانية وكما يلي:

حيث أن:

A: المصفوفة الأولى

B: المصفوفة الثانية

C: ناتج ضرب المصفوفتين

i: عداد الصفوف في المصفوفة الأولى

J: عداد الأعمدة في المصفوفة الثانية

K: عداد الأعمدة في المصفوفة الأولى والتي تساوي عداد الصفوف الم وجودة في المصفوفة الثانية

N: عدد الصفوف في المصفوفة الأولى

M: عدد الأعمدة في المصفوفة الثانية

W: عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى والتي تساوي عدد الصفوف المصفوفة الثانية

قسمة المصفوفات

وأما بالنسبة لقسمة مصفوفتين فتمثل كما يلي:

محددة المصفوفات

وهي ناتج عن حاصل ضرب عناصر القطر الصغير مطروحاً منه حاصل ضرب عناصر القطر الأعظم ويرمز لها بالنسبة للمصفوفة A ب | A |. ويمكن حساب محددة مصفوفة ذات الحجم (2 × 2) وكما يلي:

أما إذا ا زد حجم المصفوفة عن (2 × 2) فهنالك طرق عدیدة لإيجاد محددة المصفوفة[4] وأشهرها طريقة كاوس في الحذف Gaussian elimination وتعتبر هذه الطريقة من أقدم الطرق المستعملة وأكثرها شيوعاً في حل المعادلات الآتية الخطية، وعند الحصول على مصفوفة مثلث علوي أو مصفوفة مثلث سفلي يتم إيجاد قيمة المحددة عن طريق ضرب عناصر القطر.

وتعتبر المحددة كمؤشر لبيان كون إن مجموعة المعادلات الخطية هي قابلة للحل متى ما كانت هنالك قيمة للمحددة، فان كانت القيمة صفرا فان هذه المصفوفة ليس لها مقلوب أي لا يوجد حل لهذه المعادلات.

معكوس المصفوفات

من الأمور المهمة في جبر المصفوفات إيجاد معكوس المصفوفة، ومن خصائص معكوس المصفوفة أن نتيجة حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها يساوي المصفوفة المحايدة (identity matrix)

وفيما يلي الخوارزمية العامة لإيجاد معكوس أي مصفوفة A-1

  1. ستبدال الصفوف مع بعضها إذا وقع صفر على قطر المصفوفة
  2. جمع العنصر الواقع على قطر المصفوفة ضمن الصف الذي تجري عليه العمليات الحسابية واحداً وذلك بقسمة جميع عناصر ذلك الصف على قيمة العنصر الواقع على قطر المصفوفة في ذلك الصف.
  3. الحذف بطريقة كاوس أو أي طريقة أخرى.
  4. تطبيق النقاط الثلاثة أعلاه على كل صف من الصفوف المصفوفة أي يجب تطبيقها N من المرات إذا كان حجم المصفوفة A يساوى . N×N

منقول المصفوفات

منقول المصفوفة أو ما يسمى بمدور المصفوفة ويسمى أيضا المصفوفة المساعدة وهي عبارة عن تبديل الأسطر بالأعمدة، ونرمز له ب AT.

بحث عن الاجهزة الذكية

 

المراجع

  1. احمد، نوال إبراهيم الطيب (2016) العمليات على المصفوفات باستخدام الماتلاب، جامعة أم درمان الإسلامية، السودان
  2. تاج السر، سحر أبو عبيدة (2015) نمذجة المصفوفات والمحددات بواسطة الحاسب الآلي، جامعة أم درمان الإسلامية، السودان
  3. خليل، الماس احمد (2007) تصميم وتنفيذ حاسبة لإجراء العمليات الحسابية على المصفوفات، مجلة أبحاث كلية التربية الأساسية، جامعة الموصل -كلية التربية الأساسية

مقالات ذات صلة

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

زر الذهاب إلى الأعلى