المصفوفات هي من الأدوات الرياضية الأكثر أهمية في مجالات الرياضيات والهندسة، تلعب دوراً حاسماً في حل المعادلات الخطية وغير الخطية، بل وحتى في علوم الحاسوب. لكن، ما هي المصفوفات؟ وكيف يتم استخدامها في الحياة العملية؟ في هذا البحث، سنأخذك في جولة مفصلة لفهم ماهية المصفوفات بأنواعها المختلفة، تاريخها، استخداماتها، وكيفية عمل العمليات عليها.
المقدمة
المصفوفات ليست مجرد مصطلح رياضي معقد، بل هي أساس لحل العديد من المسائل العلمية، بدءًا من المعادلات الرياضية وصولاً إلى تطبيقات في البرمجة والعلوم الهندسية. سنقدم لك في هذا المقال كل ما تحتاج لمعرفته حول المصفوفات، بما في ذلك أنواعها المختلفة، تاريخ تطورها، وطريقة حساباتها.
تعريف المصفوفات
عرفت بعدة تعريفات وهي:
- عبارة عن نثق ثنائي الأبعاد مؤلف من أعداد حقيقية أو عقدية، أو هو التعبير عن قيمة أو معلومات بواسطة مجموعة أعمدة وصفوف.
- جدول من العناصر هذه العناصر تحتويها المصفوفة قد تكون أعداد حقيقية أو أعداد مركبة وقد تكون دوال.
- مجموعة مستطيلة من الأعداد أو الرموز منتظمة بشكل أعمدة وصفوف مكتوبة بين قوسين، ويمكن المصفوفة بين قوسين مربعين أو قوسين هلاليين، ويرمز للمصفوفة بأحد أحرف الإنجليزية الكبيرة.
- دالة رياضية خطية تحول مجموعة بداية أي انطلاق (مجال) إلى مجموعة وصول أو نهاية (مدى)، ومجموعة الانطلاق والوصول يمكن أن تكون متكونة من أعداد صحيحة أو عقدية أو أشعة من الأعداد، كما يمكن أن تكون هاتان المجموعتان متكونة بدورها من دالات رياضية، ويمكن أن تكون أعداد صحيحة أو مركبة يمكن أن تكون دالات رياضية.
تاريخ المصفوفات
ظهرت عام 1800 م باسم صفائف، وانتشرت بعد ذلك إلى الصين، ودول أوروبا، ودول العالم أجمع عبر العلماء، وقد نشر بحوث عديدة عنها وهم:
إقرأ أيضا:التدخين : الآثار السلبية على الصحة وسبل الوقاية- تم عام 1683م نشر بحث عنها من قبل الرياضي الياباني سيكى تاكازاو.
- في عام 1693 نشر بحوث متعلقة بها عن العالم الألماني جوتفريد لاينتز.
- عام 1848 تم ابتكار مصطلح المصفوفة عن طريق جي جي سلفستر كاسم لمجموعة مرتبة من الأرقام.
- عام 1855 قدم آرثر كايلي المصفوفة على إنها تمثيل لعناصر خطية.
نظرية المصفوفات
هي فرع الرياضيات الذي يركز على دراسة المصفوفات فعليا، يعتبر أحد فروع الجبر الخطي، ثم نمى ليغطي مواضوعات ذات علاقة بنظرية المخططات والجبر والتوافقيات والإحصاء.
حيز المصفوفة هو عدد الصفوف والأعمدة المكونة لهذه المصفوفة التي تحتوي على (M) من الصفوف وN)) من الأعمدة والحيز.
(M*N) وتكتب ( M*N) ) A
يشار عادة إلى عناصر المصفوفة بحرف صغير أسفله رقمين الأول بشير إلي رقم السطر والثاني إلي رقم العمود.
يعتبر حساب المصفوفة من الأدوات الرياضية الهامة لدراسة مواضيع مختلفة مثل الكهرباء والكيمياء والإحصاء والبرمجيات إضافة إلى الرياضة البحتة.
فوائد المصفوفات
- تقليل الوقت والجهد على المبرمج.
- السرعة في الأداء.
- يتم تقليل حجم الكود.
- إمكانية الوصول للقيم بطريقة سريعة وسهلة جداً.
أنواع المصفوفات
- المصفوفة المربعة: أن المصفوفة المربعة تكون عدد صفوفها مساويا لعدد أعمدتها.
- المصفوفة الصفرية: هي مصفوفة تكون جميع مدخلاتها تساوي أصفار.
- المصفوفة الأحادية: هي مصفوفة تتألف من مدخلة واحدة فقط، أي تتألف من عنصر واحد فقط.
- مدور المصفوفة: لتكن A مصفوفة من الدرجة n×m فانه عند تحويل صفوفها إلى أعمدة ينتج مصفوفة من الدرجة m×n وتسمى مدور أو منقول المصفوفة ويرمز لها بالرمز AT
- المصفوفة المتماثلة: هي المصفوفة الحقيقية المربعة A متماثلة إذا وفقط، إذا كانت مساوية لمدورها وبالرموز AT=A
- المصفوفة المتماثلة تخالفيا: هي المصفوفة الحقيقية المربعة A متماثلة تخالفيا إذا وفقط، إذا كان AT=A
- المصفوفة المثلثية: المصفوفة المربعة مصفوفة مثلثية إذا وفقط إذا كانت جميع مدخلاتها فوق القطر الرئيسي أو تحت القطر الرئيسي تساوي صفرا.
- المصفوفة القطرية: أن المصفوف المربعة إنها مصفوفة قطرية إذا وفقط إذا كانت جميع مدخلاتها فوق وتحت القطر الرئيسي تساوي صفرا.
- المصفوفة المستطيلة: وهي لا يتساوى فيها عدد الصفوف مع عدد الأعمدة.
- المصفوفة السطرية: وهي تتكون من صف واحد فقط، وسميت بهذا الاسم لأن جميع عناصرها تقع على سطر واحد.
- المصفوفة العمودية: وهي تتكون من عمود واحد فقط، وسميت بهذا الاسم لأن جميع عناصرها تقع في عمود واحد.
- المصفوفة الواحدية: وهي مصفوفة قطرية جميع عناصر القطر الرئيسي فيها هو العدد واحد.
الجوانب الحسابية للمصفوفات
- حساب المصفوفات في الجبر الخطي: تستخدم لحل الأنظمة الخطية باستخدام طرق مثل الحذف Gauss، الاستبدال الأمامي والخلفي، طريقة كاوس-جوردان، والتفكيك إلى المصفوفات المثلثية.
- المصفوفات كمصفوفات متوازية: في الحوسبة المتوازية، تُستخدم لتسريع العمليات الحسابية عن طريق توزيع العمليات على أكثر من وحدة معالجة مركزية (CPU) أو معالج رسومي (GPU).
- المصفوفات في حساب التفاضل والتكامل: تُستخدم لحساب التفاضل والتكامل للأنظمة متعددة المتغيرات، مثل المعادلات التفاضلية الجزئية باستخدام المصفوفات التكرارية.
- دراسة الاستقرارية واللاستقرارية: باستخدامها يمكن دراسة استقرار النظام باستخدام قيم eigenvalues والمحددات. يستخدم ذلك في تحليل الأنظمة الديناميكية مثل الأنظمة البيئية أو الاقتصادية.
- التحليل العددي للمصفوفات: يُستخدم التحليل العددي لحساب حلول للمصفوفات التي تحتوي على أخطاء تقريبية باستخدام طرق التحسين، الحسابات العددية مثل طريقة القيم الذاتية أو طريقة التحويلات.
- المصفوفات في المعادلات الغير خطية: في حل المعادلات غير الخطية، يمكن استخدام المصفوفات التكرارية مثل طريقة نيوتن أو طريقة التصغير الأمامي لتقريب الحلول بشكل سريع.
- التلاعب بالحجم: تسمح بتقليل حجم البيانات المخزنة في البرمجيات والأنظمة الحسابية عن طريق تحويل البيانات إلى هيئات مضغوطة باستخدام المصفوفات المعيارية.
التطبيقات على المصفوفات
- الذكاء الصناعي والتعلم الآلي: في الذكاء الصناعي والتعلم الآلي، تُستخدم في تمثيل البيانات، مثل الشبكات العصبية، حيث تمثل الأوزان والمدخلات والمخرجات عبر طبقات الشبكة العصبية.
- معالجة الصور الرقمية: في معالجة الصور، يتم استخدامها لتمثيل الصورة كشبكة من البكسلات. كما يمكن تطبيق المرشحات والعمليات التحويلية (مثل الفلترة والتحويلات الهندسية) باستخدام المصفوفات.
- تحليل البيانات والإحصاء: تُستخدم في تحليل البيانات الكبيرة حيث يتم تنظيم البيانات في مصفوفات ثنائية الأبعاد لتسهيل تطبيق التحليل العنقودي والانحدار الخطي باستخدام التحليل الإحصائي.
- الهندسة الصوتية والموسيقى: في معالجة الصوت والموسيقى، يتم تمثيل الموجات الصوتية باستخدام المصفوفات، ويتم إجراء عمليات مثل التعديل على الترددات والمرشحات الصوتية عن طريق المعالجة الرياضية للمصفوفات.
- الجغرافيا ونظم المعلومات الجغرافية (GIS): تُستخدم في نظم المعلومات الجغرافية GIS لتمثيل الخرائط والبيانات الجغرافية التي تتطلب معالجة وتحليل عن طريق المصفوفات المكانية.
- النمذجة الرياضية والفيزياء: تستخدم في محاكاة الظواهر الطبيعية، مثل موجات الصوت والحرارة، عبر حلول المعادلات التفاضلية الجزئية باستخدام المصفوفات.
- الأنظمة الميكانيكية والهندسية: في الأنظمة الميكانيكية مثل الروبوتات والهياكل الهندسية، تُستخدم المصفوفات لتمثيل القوى و العزوم و التحولات الهندسية (مثل الانحناءات والتدفقات).
- إدارة الموارد والاقتصاد: تُستخدم في النمذجة الاقتصادية وتحليل الأسواق و إدارة المخزون من خلال تمثيل البيانات الاقتصادية والمالية في شكل مصفوفات.
- الأمن السيبراني والتشفير: في تشفير البيانات، تُستخدم لتنفيذ خوارزميات مثل خوارزمية RSA و التشفير بالمصفوفات التي تعتمد على العمليات الرياضية.
- الروبوتات والذكاء الصناعي المتقدم: تستخدم في تحريك الروبوتات وحساب المسارات الأمثل باستخدام الخوارزميات المعتمدة على المصفوفات مثل الخوارزميات الجينية و التعلم العميق.
إسهامات علماء المسلمين في الفيزياء
العمليات على المصفوفات
المقصود بالمصفوفة (Matrix) بأنها مجموعة من البيانات ليس بالشرط أن تكون قيمتها مهمة بل إن الأهمية تكمن في موقعها ضمن المصفوفة، وان أي مصفوفة تحدد بعدد اسطرها (Rows) وأعمدتها (Columns) فيمكن أن يقال بأن المصفوفة ذات حجم n × m حيث إن عدد السطور يساوي n وعدد الأعمدة m ويرمز لعناصر لمصفوفة بالرمز aij حيث، يشار i إلى السطر و j إلى العامود، ویرمز للمصفوفة عادة بالأحرف اللاتينية الكبيرة وتستخدم الحروف اللاتينية الصغيرة لتمثيل عناصر المصفوفة وكما هو مبين في المثال أدناه:
ويمكن إيجاد حلول سريعة وفعالة لمجموعة من المعادلات الخطية من خلال استخدام المصفوفة، ولأجل عرض ما تم إنجازه في هذا البحث يجب التعرف مسبقاً على أهم العمليات التي تم برمجتها وتقديمها بشكل برنامج.
جمع المصفوفات
في كثیر من الأحیان نحتاج إلى عملیة جمع مصفوفة مع مصفوفة أخرى، فان هنالك شروطاً یجب توفرها لإنجاز العملیة هي أن تكون أبعاد المصفوفة الأولى مساویة لأبعاد المصفوفة الثانية.
طرح المصفوفات
شرط طرح المصفوفات هو نفس شرط الجمع، حيث يشترط أن تكون المصفوفات التي يتم جمعها أو طرحها لها نفس القوة n×m:
إقرأ أيضا:كورونا دلتا بلس : كل ما يجب معرفته عن متحور كورونا الجديدحيث أن:
m هي عدد الصفوف
n هي عدد الأعمدة
ضرب المصفوفات
لضرب مصفوفتين فان شرطاً يجب توفره وهو عدد الأعمدة الموجودة في المصفوفة الأولى يجب أن يكون مساوياً لعدد الصفوف الموجودة من المصفوفة الثانية وكما يلي:
حيث أن:
A: المصفوفة الأولى
B: المصفوفة الثانية
C: ناتج ضرب المصفوفتين
i: ان عدد الصفوف في المصفوفة الأولى
J: يوجد عدد الأعمدة في المصفوفة الثانية
K: وجد عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى والتي تساوي عداد الصفوف الم وجودة في المصفوفة الثانية
N: ايجاد عدد الصفوف في المصفوفة الأولى
M: عدد الأعمدة في المصفوفة الثانية
W: عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى والتي تساوي عدد الصفوف المصفوفة الثانية
قسمة المصفوفات
وأما بالنسبة لقسمة مصفوفتين فتمثل كما يلي:
محددة المصفوفات
وهي ناتج عن حاصل ضرب عناصر القطر الصغير مطروحاً منه حاصل ضرب عناصر القطر الأعظم ويرمز لها بالنسبة للمصفوفة A ب | A |. ويمكن حساب محددة مصفوفة ذات الحجم (2 × 2) وكما يلي:
أما إذا ا زد حجم المصفوفة عن (2 × 2) فهنالك طرق عدیدة لإيجاد محددة المصفوفة[4] وأشهرها طريقة كاوس في الحذف Gaussian elimination وتعتبر هذه الطريقة من أقدم الطرق المستعملة وأكثرها شيوعاً في حل المعادلات الآتية الخطية، وعند الحصول على مصفوفة مثلث علوي أو مصفوفة مثلث سفلي يتم إيجاد قيمة المحددة عن طريق ضرب عناصر القطر.
وتعتبر المحددة كمؤشر لبيان كون إن مجموعة المعادلات الخطية هي قابلة للحل متى ما كانت هنالك قيمة للمحددة، فان كانت القيمة صفرا فان هذه المصفوفة ليس لها مقلوب أي لا يوجد حل لهذه المعادلات.
معكوس المصفوفات
من الأمور المهمة في جبر المصفوفات إيجاد معكوس المصفوفة، ومن خصائص معكوس المصفوفة أن نتيجة حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها يساوي المصفوفة المحايدة (identity matrix)
وفيما يلي الخوارزمية العامة لإيجاد معكوس أي مصفوفة A-1
- ستبدال الصفوف مع بعضها إذا وقع صفر على قطر المصفوفة
- جمع العنصر الواقع على قطر المصفوفة ضمن الصف الذي تجري عليه العمليات الحسابية واحداً وذلك بقسمة جميع عناصر ذلك الصف على قيمة العنصر الواقع على قطر المصفوفة في ذلك الصف.
- الحذف بطريقة كاوس أو أي طريقة أخرى.
- تطبيق النقاط الثلاثة أعلاه على كل صف من الصفوف المصفوفة أي يجب تطبيقها N من المرات إذا كان حجم المصفوفة A يساوى . N×N
منقول المصفوفات
منقول المصفوفة أو ما يسمى بمدور المصفوفة ويسمى أيضا المصفوفة المساعدة وهي عبارة عن تبديل الأسطر بالأعمدة، ونرمز له ب AT.
الخاتمة
في ختام هذا البحث، يمكن القول أن المصفوفات تمثل أحد الركائز الأساسية في العديد من مجالات الرياضيات والهندسة والعلوم التطبيقية. لقد استعرضنا الجوانب الحسابية للمصفوفات التي تساهم في حل الأنظمة الخطية، تحليل البيانات، وتحقيق الاستقرار في الأنظمة المعقدة. كما تم تسليط الضوء على التطبيقات الواسعة للمصفوفات في مجالات متنوعة مثل الذكاء الاصطناعي، معالجة الصور، الجغرافيا، والهندسة، مما يعكس دورها الحيوي في حل المشكلات المعقدة وتحقيق التقدم التكنولوجي.
إن فهم الترتيبات العددية وتطبيقاتها لا يقتصر فقط على المجالات العلمية التقليدية، بل يمتد ليشمل مجالات جديدة مثل تعلم الآلة والأمن السيبراني، مما يجعلها أداة لا غنى عنها في عصر البيانات الضخمة والابتكار التكنولوجي. لذلك، يبقى البحث المستمر في تطوير تقنيات المصفوفات وتحسين كفاءتها أمرًا بالغ الأهمية لتحقيق المزيد من التقدم في التطبيقات المختلفة.
المراجع
- احمد، نوال إبراهيم الطيب (2016) العمليات على المصفوفات باستخدام الماتلاب، جامعة أم درمان الإسلامية، السودان
- تاج السر، سحر أبو عبيدة (2015) نمذجة المصفوفات والمحددات بواسطة الحاسب الآلي، جامعة أم درمان الإسلامية، السودان
- خليل، الماس احمد (2007) تصميم وتنفيذ حاسبة لإجراء العمليات الحسابية على المصفوفات، مجلة أبحاث كلية التربية الأساسية، جامعة الموصل -كلية التربية الأساسية
